Kelas VII SMPMTs 140 4 1 5 2  2 5 2  4 1 3  2 0 2 5 4 4 3 2  3 4 1 5 2 6 6 20 13 20 33 7  3  2 Cara II 4 1 2 5 2 3  = 4 9 5 17  = 4 5 9 17   = 20 153 = 20 13 7     1 7 6 7       7 52         2. Hitung ...... 2 1 1 3 1 2 = × ? Jawab 2 1 3 1 1 2 7 3 3 2 21 6 7 2 3 1 2 × = × = = = 3. Hitung ...... 3 1 1 3 1 4 = × ? Jawab 4 1 3 1 1 3 13 3 4 3 52 9 5 7 9 × = × = = f. Mengalikan tiga pecahan berturut-turut 1 Hitunglah 5 3 1 4 12 5 × × = ... 5 3 1 4 12 5 5 3 1 4 12 5 5 12 12 5 1 × × = ×      × = × = Cara lain 1 1 1 5 2 1 4 1 3 5 5 1 2 4 1 3 5 1 1 1 1 1 = = × × = × × Contoh Matematika 141 2 Hitunglah 4 4 5 2 7 3 2 1 12 × × = ... Cara I Cara II 4 4 5 2 7 3 2 1 12 4 4 5 2 7 3 2 1 12 24 5 13 3 25 12 10 8 1 × × = ×      × = ×      × = 44 5 25 12 130 3 10 26 1 5 3 × = = 1 3 130 3 5 1 3 2 2 1 5 2 3 1 3 5 4 2 1 2 1 2 3 7 2 5 4 4 1 5 1 2 = = × × = × × = × × 4 Pembagian Pecahan Sebelumnya telah dijelaskan bahwa pembagian adalah pengurangan berulang dan operasi pembagian adalah lawan dari operasi perkalian. Untuk menemukan cara menentukan hasil pembagian dengan bilangan pecahan, coba cermati masalah berikut ini. m 3 2 m 3 2 6 6 1 m 6 1 m 6 Sepotong Kain 66 Diketahui Kain yang tersedia 3 2 m Satu saputangan memerlukan 6 1 m Ditanya Banyak saputangan yang dapat dibuat. Karena untuk membuat tiap saputangan diperlukan 6 1 m, maka banyak saputangan yang dapat dibuat adalah 3 2 6 1 = …. ? Seorang penjahit menerima 3 2 m kain putih berbunga- bunga untuk dijadikan saputangan. Untuk tiap saputangan memerlukan 6 1 m. Berapa banyak saputangan yang dapat dibuat. Kelas VII SMPMTs 142 3 6 Berdasarkan gambar di atas, 3 2 bagian = 8 kotak terarsir. 1 2 1 × × × 3 2 6 1 Berdasarkan gambar di atas, 3 2 bagian = 8 kotak terarsir. Sementara 6 1 bagian = 2 kotak arsiran. Jadi 3 2 6 1 = 8 2 = 4. Untuk membuat sebuah saputangan diperlukan 2 kotak. Sementara yang tersedia 8 kotak. Sehingga banyak saputangan yang dapat dibuat adalah 8 kotak dibagi 2 kotak yang sama dengan 4 buah saputangan. Hal ini dapat dihitung dengan cara berikut 3 2 6 1 = 3 2 × 1 6 = 1 3 6 2 × × = 12 3 = 4 Jadi banyak saputangan yang dapat dibuat adalah 4 buah × × × Bermain Sirkus Bermain Sirkus Seorang pemain sirkus akan mempertunjukkan berjalan di atas tali yang panjangnya 10 meter. Sekali melangkah, ia mencapai 2 1 m. Berapa langkah yang dibutuhkan agar sampai diujung tali. Diketahui Panjang tali 10m Satu kali melangkah diperoleh 2 1 m Ditanya Banyak langkah yang dibutuhkan ? Pemecahan Satu kali melangkah, jarak yang ditempuh 2 1 m. Karena panjang tali 10 m, maka banyak langkah yang dibutuhkan adalah 10 2 1 = …. ? Perhatikan gambar berikut 10m 10m 2 1 m Matematika 143 Roti Bu Vera memiliki 5 potong roti. Roti tersebut akan dibagikan pada 3 orang anaknya dan tiap anak mendapat bagian yang sama. Berapa potong yang diperoleh tiap anak ? Banyak roti 5 potong Banyak anak Bu Vera adalah 3 orang Karena tiap anak mendapat bagian yang sama, maka banyak roti yang diperoleh masing-masing anak adalah 5 3 = …. ? Perhatikan gambar berikut Berdasarkan gambar di samping, banyak roti yang diperoleh masing-masing anak adalah 3 1 + 3 1 + 3 1 + 3 1 + 3 1 = 3 1 1 1 1 1 + + + + = 3 5 = 1 3 2 Cara memperoleh 5 3 = 3 + 2 3 = 3 3 + 2 3 = 1 + 3 2 = 1 3 2 Masing-masing anak mendapat 1 3 2 potong roti. Hasil pembagian bilangan asli 5 dengan 3 menghasilkan pecahan 1 3 2 . Kemudian operasi pembagian dapat dijelaskan sebagai lawan dari operasi perkalian, 5 3 = 3 5 sebab 3 × 3 5 = 3 5 3 15 3 5 × = = + + + + × = = × 7 m 3 Bakal Celana Seorang penjahit menerima 7m kain bakal untuk dijadikan tiga buah celana. Tiap celana berukuran sama. Berapa meter kain yang dibutuhkan untuk satu kain celana ?. Kelas VII SMPMTs 144 Bahan yang tersedia 7 m kain bakal. Banyak celana yang akan dibuat 3 potong. Karena setiap celana berukuran sama, maka ukuran kain untuk satu potong celana adalah 7 3 = ... ? Perhatikan gambar berikut 3 1 1 7 1 Berdasarkan gambar ter sebut, 7 dibagi 3 adalah luas daerah persegi panjang yang panjangnya 7 m dan lebarnya 3 1 m. Dapat ditulis 7 3 = 7 × 3 1 = 3 7 = 3 1 2 Jadi, kain yang dibutuhkan untuk membuat satu celana adalah 3 1 2 m Cara memperoleh 7 3 = 6 + 1 3 = 6 3 + 1 3 = 2 + 3 1 = 3 1 2 Jadi untuk membuat satu potong celana diperlukan 3 1 2 m kain bakal. Hasil pembagian bilangan asli 7 dengan 3 menghasilkan pecahan 2 3 1 . Kemudian operasi pembagian dapat dijelaskan sebagai lawan dari operasi perkalian, 7 3 = 3 7 sebab 3 7 3 3 7 3 21 3 7 × = × = = Setiap bilangan pecahan jika dikalikan dengan 1 hasilnya bilangan pecahan itu sendiri. Demikian juga jika sebuah pecahan dibagi dengan bilangan 1 maka hasilnya bilangan pecahan itu sendiri. Perhatikan contoh berikut. 1 4 3 × 1 = 4 3 × 1 1 = = × × 1 4 1 3 4 3 2 4 3 × 3 4 = 3 4 4 3 × × = 12 12 = 1 Contoh Matematika 145 3 4 3 1 = 4 3 sebab 1 × 4 3 = 4 3 4 1 4 3 = 3 4 sebab 4 3 × 3 4 = 1 5 1 5 4 = 4 5 sebab 5 4 × 4 5 = 4 5 5 4 × × = 20 20 = 1 Sebuah pecahan jika dikalikan dengan suatu pecahan, hasil kalinya adalah 1 maka pecahan itu saling berkebalikan. Kebalikan pecahan 5 4 adalah 4 5 sebab 5 4 × 4 5 = 1. Pecahan 4 3 kebalikannya adalah pecahan 3 4 , sebab 4 3 × 3 4 = 1. Beberapa sifat yang perlu dicermati 1. Setiap pecahan dibagi dengan 1 hasilnya pecahan itu sendiri 2. Setiap pecahan memiliki kebalikan 3. Setiap pecahan dikalikan dengan kebalikannya hasilnya 1 4. hasil bagi bilangan 1 dengan sebuah pecahan, maka hasilnya adalah kebalikan pecahan itu. 1 t × 7 1 = 1 t = 1 7 1 = 1 × 1 7 7 t = 1 7 kebalikan bilangan 7 1 t = 7 2 6 10 × s = 1 s = 1 6 10 = 1 × 10 6 s = 10 6 kebalikan bilangan 6 10 s = 1 4 10 × × × × × × 7 1 7 × × × × × × × × × 10 1 10 × 10 6 Contoh Kelas VII SMPMTs 146 Pakaian Bayi × × 4 2 m Pakaian Bayi Seorang Ibu hamil membeli 2 meter kain katun untuk dijadikan pakaian bayi. Satu pakaian bayi membutuhkan 4 1 m kain katun. Berapa banyak pakaian bayi yang dapat dibuat. Kain katun yang tersedia 2m Satu pakaian bayi membutuhkan 4 1 m kain katun Berarti banyak pakaian bayi yang dapat dibuat adalah 2 4 1 = …. ?0 Perhatikan gambar di bawah ini Berdasarkan gambar di atas, dalam 2m terdapat 8 k × × 2m 2m 4 1 4 Berdasarkan gambar di atas, dalam 2m terdapat 8 kotak seperempatan. Jadi, banyak pakaian bayi perhatikan kotak berwarna yang dapat dibuat dari 2m kain katun adalah banyaknya kotak seperempatan, yaitu 8 potong. Cara memperolehnya sebagai berikut 2 4 1 = 2 × 1 4 = 1 4 2 × = 1 8 = 8 Jadi banyak pakaian bayi yang dapat dibuat adalah 8 potong. Matematika 147 Tukang Plafon  1  1 1 1 1  4 4  20 Ukuran luas 2m 2,5m Seorang tukang ingin memasang plafon rumah dengan bahan triplek. Ukuran luas satu triplek adalah 5 m 2 . Triplek besar dipotong- potong pengganti asbes berbentuk persegi dengan panjang sisi 2 1 m. Berapa banyak asbes yang dapat dibuat dari satu triplek besar ? Tersedia sebuah triplek besar ukuran dengan panjang 2,5 m dan lebarnya 2 m. Karena triplek berbentuk persegi panjang, maka luasnya adalah L = 2, 5 × 2 = 5 m 2 . Karena asbes berbentuk persegi dengan panjang sisi 2 1 m, maka Luas satu asbes = 2 1 × 2 1 = 4 1 m 2 . Banyak asbes yang dapat dibentuk dari sebuah triplek adalah hasil bagi luas triplek dengan luas asbes, yaitu 5 4 1 = …?. Perhatikan gambar di bawah ini × × × × Triplek 2m 2,5m 2 1 m 2,5m Berdasarkan gambar di atas, banyak petak yang luasnya 4 1 m 2 yang dibentuk dari sebuah triplek yang luasnya 5m 2 adalah sebanyak 20 petak. Jadi banyak asbes yang dapat dibuat adalah 20 potong Cara memperolehnya sebagai berikut 5 4 1 = 5 × 1 4 = 1 4 5 × = 20 1 = 20 Jadi banyak asbes yang dapat dibuat dari sebuah triplek adalah 20 buah. Kelas VII SMPMTs 148 1 Hitung 4 7 3 = …… ? 4 7 3 = 4 × 3 7 = 3 7 4 × = 28 3 = 9 3 1 2 8 5 3 = p kalimat pembagian p = 8 × 3 5 kalimat perkalian p = 3 5 8× = 40 3 p = 13 3 1 Sekarang perhatikan bagaimana cara membagi suatu pecahan dengan bilangan asli. 1 3 1 4 = … 1 1 1 1 3 satuan dibagi 4 sama besar, maka besar tiap bagian 1 3 1 4 × adalah satuan. 1 3 4 1 3 1 4 1 12 = × = 2 5 2 6 = p kalimat pembagian 6 × p = 5 2 kalimat perkalian 6 × 6 1 = 1 perkalian dengan kebalikan bilangan 5 2 6 6 1 5 2 =       × × perkalian dengan 1 × × × × 3 3 1 b × × × × = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ × × = × ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ × = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ × × = → × 1 1 1 4 3 1 1 3 1 3 1 3 Contoh Contoh Matematika 149 5 2 6 6 1 5 2 = ×       × 6 5 2 6 1 5 2 =       × atau 6 1 5 2 6 5 2 × = jadi, 5 2 6 = p → p = 6 1 5 2 × = 2 30 = 1 15 1 8 4 3 2 = p p = = = × = = = 8 4 2 3 8 14 3 8 3 14 24 14 12 7 1 5 7 2 5 4 3 5 = p 5 4 3 5 = 23 4 5 → 23 4 5 = p p × 5 = 23 4 Karena 5 5 1 × = 1 maka 23 4 ×       ×5 5 1 = 23 4 23 4 1 5 ×       × 5 = 23 4 23 4 1 5 × = 23 4 5 23 4 5 = 23 4 1 5 × Jadi, p = 5 4 3 5 = 23 4 1 5 × = 23 20 1 3 20 = Tentukanlah hasil penjumlahan bilangan berikut 1 1 1 1 ... ... 1 2 2 3 3 4 99 100 + + + + = × × × × Contoh Contoh Kelas VII SMPMTs 150 1 1 1 1 .. 1 1 1 2 2 1 3 3 1 99 99 1 = + + + + × + × + × + × + ingatkah kamu pada perkalian berikut 1 1 1 1 1 n n n n = − + + 1 1 1 1 1 1 1 1 ... 2 2 3 3 4 99 100 1 1 100 99 100         = − + − + − + + −                   = −     = A. Kerjakanlah soal-soal berikut ini 1. Bentuk sederhana dari 1 2 + 1 6 + 1 12 + … + 1 2005 2005 1 + adalah …. 2. Pilih dan jelaskan cara terbaik membandingkan dua pecahan dengan 3. Andi mempunyai 27 kelereng. Sebanyak 5 9 dari kelereng itu diberikannya kepada Rudi. Berapa banyak kelereng yang diberikan kepada Rudi? Berapa sisa kelereng pada Andi? 4. Dalam lomba tolak peluru Andika melempar sejauh 10 × 1 3 m, dan Budi sejauh 10 × 2 5 m. Siapakah antara kedua anak itu yang melempar paling jauh? Berapa selisihnya? 5. Mana yang lebih banyak 3 4 dari 5 ton atau 5 6 dari 5 ton? Berapa ton bedanya? 6. Bu Broto memiliki ladang gandum berbentuk persegi panjang. Panjangnya 20 m dan lebarnya 8 2 3 m. Tentukan luas ladang gandum tersebut Uji Kompetensi - Penyelesaian 7. Hasil panen gandum Bu Broto adalah 15 ton per tahun. Bersamaan dengan musim panen, Ia harus membayar uang kuliah anaknya. Untuk Bu Broto harus menjual 2 3 dari gandum itu. Berapa ton sisa gandum ? 8. Suprapto melakukan perjalanan mudik dari kota Semarang ke kota Yogyakarta. Di perjalanan pengendara tersebut mengisi bensin tiga kali, yaitu 8 5 liter, 3 10 liter, dan 12 5 terakhir liter. Berapa liter jumlah total bensin yang telah diisi oleh pengendara tersebut? 9. Sonia membeli baju dengan harga Rp. Ia mendapat potongan harga 0,25. Berapa harga yang harus dibayar? 10. Harga sebuah tas Rp. dengan discount 15. Menjadi berapakah harga tas setelah diberi discount?